设n阶矩阵A，B满足AB=aA+bB．其中ab≠0，证明 (1)A—bE和B—aE都可逆． (2)AB=BA．

admin2018-11-20 27

问题设n阶矩阵A，B满足AB=aA+bB．其中ab≠0，证明
(1)A—bE和B—aE都可逆．
(2)AB=BA．

选项

答案(1)A一bE和B一aE都可逆[*](A—bE)(B—aE)可逆．直接计算(A一bE)(B一aE)． (A—bE)(B一aE)=AB—aA—bB+abe=abE．因为ab≠0，得(A一bE)，(B—aE)可逆． (2)利用等式(A—bE)(B—aE)=abE，两边除以ab，得 [*] 再两边乘ab，得(B一aE)(A一bE)=abE，即 BA—aA一Bb+abE=abE． BA=aA+bB=AB．

解析

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