设二次型 f(x1 ,x2 ,x3)=XTAX=[x1 ,x2 ,x3] 满足 (1)用正交变换化二次型为标准形,并求所作的正交变换; (2)求该二次型.

admin2016-12-16  19

问题 设二次型
f(x1 ,x2 ,x3)=XTAX=[x1 ,x2 ,x3]

满足
(1)用正交变换化二次型为标准形,并求所作的正交变换;
(2)求该二次型.

选项

答案(1)由AB=0即知B中兰个列向量均为A的属于零特征值的特征向量。 事实上,设B=[α1 ,α2 ,α3],则Aαi=0 (1=1,2,3).显然α1 ,α2线性无关,且α312 ,故λ1=0至少是二重特征值,又因 [*] 故λ12=0,λ3=2.设对应于λ3=2的特征向量为 β3=[x1 ,x2 ,x3]T , 则α1与β3 ,α2与β3正交,于是有 [*] 由[*]知,该方程组的基础解系为 [一1/2,一1/2,1]T. 为方便计,取β3=[1,1,一2]T. 注意到α1 ,α2 ,β3两两正交,只需单位化 [*] 则Q=[η1 ,η2 ,η3]为正交矩阵,作正交变换X=QY,则 f=XTAX=(QY)TA(QY)=YT(QTAQ)Y [*] (2)由 QTAQ=Q一1AQ=[*],得到 [*] f(x1 ,x2 ,x3)=[*]

解析 为解决问题(1)与(2)需先求出A的特征值、特征向量.因A为抽象矩阵,故只能由定义及其性质求之.
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