设y(x)是区间(0，3／2)内的可导函数，且y(1)=0，点P是曲线L：y=y(x)上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0，YP)，法线与x轴相交于点(Xp，0)，若XP=yP，求L上点的坐标(X，Y)满足的方程．

admin2017-02-21 68

问题设y(x)是区间(0，3／2)内的可导函数，且y(1)=0，点P是曲线L：y=y(x)上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0，Y_P)，法线与x轴相交于点(X_p，0)，若X_P=y_P，求L上点的坐标(X，Y)满足的方程．

选项

答案设p(x，y(x))的切线Y-y(x)=y’(x)=y’(x)(X-x)，令X=0得Yp=y(x)-y’(x) x，法线Y-y(x)=-[*](X-x)令Y=0得X_p=x+y(x)y’(x)。由X_p=Y_p得y-xy’(x)=x+yy’(X)，即[*]-1，令y／x=u，则y=ux，按照齐次微分方程的解法不难解出[*]ln(u²+1)+arctanu=-ln|x|+C．

解析

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