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已知函数f(x)=x3一(k2一k+1)x2+5x一2，g(x)=k2x2+kx+1，其中k∈R． 设函数是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2(x2≠x1)，使得q’(x2)=q’(x1)成立?若存在，求k的值；若不存在，请说明理

admin2016-06-03  8
问题 已知函数f(x)=x3一(k2一k+1)x2+5x一2，g(x)=k2x2+kx+1，其中k∈R．
设函数是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2(x2≠x1)，使得q’(x2)=q’(x1)成立?若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
选项
答案由题意得，当x＜0时， q’(x)=f’(x)=3x2一2(k2一k+1)x+5； 当x＞0时，q’(x)=g’(x)=2k2x+k． 因为当k=0时不合题意，所以k≠0． 下面讨论k≠0的情形． 记A={g’(x)｜x＞0}，B={f’(x)｜x＜0}， 则A=(k，+∞)，B=(5，+∞)， ①当x1＞0时， q’(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以要使q’(x2)=q’(x1)成立，只能x2＜0，且A∈B，因此k≥5； ②当x1＜0时， q’(x)在(一∞，0)上单调递减， 所以要使q’(x2)=q’(x1)成立，只能x2＞0，且B∈A，因此k≤5，综合①②，得k=5． 当k=5时，有A=B [*] 因为q’(x)在(0，+∞)上单调递增，所以x2是唯一的． 同理，[*]，存在唯一的非零实数x2(x2≠x1)，使得q’(x2)=q’(x1)成立．所以k=5符合题意．
解析
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