2. 考研
  3. 设f(x)在[a，+∞)上可导，且当x＞a时，fˊ(x)＜k＜0(k为常数)．证明：如果f(a)＞0，则方程f(x)=0在区间[a，a-f(a)/k]上有且仅有一个实根．

设f(x)在[a，+∞)上可导，且当x＞a时，fˊ(x)＜k＜0(k为常数)．证明：如果f(a)＞0，则方程f(x)=0在区间[a，a-f(a)/k]上有且仅有一个实根．

admin2020-07-31  39
问题 设f(x)在[a，+∞)上可导，且当x＞a时，fˊ(x)＜k＜0(k为常数)．证明：如果f(a)＞0，则方程f(x)=0在区间[a，a-f(a)/k]上有且仅有一个实根．
选项
答案先证根的存在性．由题设知，f(x)在[a，a-f(a)/k]上满足拉格朗日中值定理条件，故有 [*] 又因为f(a)＞0，由零点定理知，方程f(x)=0在(a，a-f(a)/k)内有实根． 再由fˊ(x)＜0(x＞a)且f(x)在x≥a处连续知，f(x)在[a，a-f(a)/k]上单调减少，故方程f(x)=0在[a，a-f(a)/k]上最多有一个根． 综上所述，命题得证．
解析 先利用拉格朗日中值定理及零点定理证明根的存在性，再利用函数的单调性证明方程根的唯一性．
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考研数学二

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