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设f(x)在[a,+∞)上可导,且当x>a时,fˊ(x)<k<0(k为常数).证明:如果f(a)>0,则方程f(x)=0在区间[a,a-f(a)/k]上有且仅有一个实根.
设f(x)在[a,+∞)上可导,且当x>a时,fˊ(x)<k<0(k为常数).证明:如果f(a)>0,则方程f(x)=0在区间[a,a-f(a)/k]上有且仅有一个实根.
admin
2020-07-31
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问题
设f(x)在[a,+∞)上可导,且当x>a时,fˊ(x)<k<0(k为常数).证明:如果f(a)>0,则方程f(x)=0在区间[a,a-f(a)/k]上有且仅有一个实根.
选项
答案
先证根的存在性.由题设知,f(x)在[a,a-f(a)/k]上满足拉格朗日中值定理条件,故有 [*] 又因为f(a)>0,由零点定理知,方程f(x)=0在(a,a-f(a)/k)内有实根. 再由fˊ(x)<0(x>a)且f(x)在x≥a处连续知,f(x)在[a,a-f(a)/k]上单调减少,故方程f(x)=0在[a,a-f(a)/k]上最多有一个根. 综上所述,命题得证.
解析
先利用拉格朗日中值定理及零点定理证明根的存在性,再利用函数的单调性证明方程根的唯一性.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4G84777K
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考研数学二
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