[2003年] 有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1.3.5.10),容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求,当以3 m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设

admin2019-04-17  105

问题 [2003年]  有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1.3.5.10),容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求,当以3 m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体).

求曲线x=φ(y)的方程.
(注:m表示长度单位米,min表示时间单位分钟)

选项

答案液面的高度为y时,液体的体积为π∫0yφ2(y)dy=3t=3φ2(y)一12.该式两边对y求导,得 πφ2(y)=6φ(y)φ′(y), 即 πφ(y)=6φ′(y). 解此微分方程,得φ(y)=C[*],其中C为任意常数,由φ(0)=2知C=2.故所求曲线方程为 x=2[*].

解析
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