2. 考研
  3. [2003年] 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1．3．5．10)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设计要求，当以3 m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设

[2003年] 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1．3．5．10)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设计要求，当以3 m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设

admin2019-04-17  115
问题 [2003年]  有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1．3．5．10)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设计要求，当以3 m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．

求曲线x=φ(y)的方程．
(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分钟)
选项
答案液面的高度为y时，液体的体积为π∫0yφ2(y)dy=3t=3φ2(y)一12．该式两边对y求导，得 πφ2(y)=6φ(y)φ′(y)， 即 πφ(y)=6φ′(y)． 解此微分方程，得φ(y)=C[*]，其中C为任意常数，由φ(0)=2知C=2．故所求曲线方程为 x=2[*]．
解析
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考研数学二

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