2. 考研
  3. 设总体X的概率密度为f(x)＝其中θ＞0，θ，μ为参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本． (Ⅰ)如果参数μ已知，求未知参数θ的最大似然估计； (Ⅱ)如果参数θ已知，求未知参数μ的最大似然估计，并求； (Ⅲ)如果参数θ和μ均未知，求θ和μ

设总体X的概率密度为f(x)＝其中θ＞0，θ，μ为参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本． (Ⅰ)如果参数μ已知，求未知参数θ的最大似然估计； (Ⅱ)如果参数θ已知，求未知参数μ的最大似然估计，并求； (Ⅲ)如果参数θ和μ均未知，求θ和μ

admin2020-10-30  43
问题 设总体X的概率密度为f(x)＝其中θ＞0，θ，μ为参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本．
  (Ⅰ)如果参数μ已知，求未知参数θ的最大似然估计；
  (Ⅱ)如果参数θ已知，求未知参数μ的最大似然估计，并求；
  (Ⅲ)如果参数θ和μ均未知，求θ和μ的矩估计量与最大似然估计量．
选项
答案(Ⅰ)作似然函数L(θ)＝[*] 取对数lnL(θ)＝[*] 求驻点，令[*] 故θ的最大似然估计量为[*] (Ⅱ)作似然函数L(μ) [*] 取对数lnL(μ)＝[*] 因为[*] 即L(μ)为μ的单调增函数，故当μ＝min{x1，x2，…，xn}时，L(μ)取得最大值，所以μ的最大似然估计量为[*]＝min{X1，X2，…，Xn}． ①总体X的分布函数为[*] ②令Y＝min{X1，X2，…，Xn}． FY(y)[*]P{Y≤y}[*]P{min(X1，X2，…，Xn)≤y}[*]1－P{min(X1，X2，…，Xn)＞y} ＝1－P{X1＞y}P{X2＞y}…P{Xn＞y} ＝1－[1－P{X1≤y}][1－P(X2≤y}]…[1－P{Xn≤y}] [*] 故[*]不是μ的无偏估计． (Ⅲ)先求矩估计量 样矩：[*] 总矩：[*] 令[*] 解得θ和μ的矩估计量分别为[*] 再求最大似然估计量． 由[*]知[*]＝min{X1，X2，…，Xn}为μ的最大似然估计量．(由(Ⅱ)) 令[*] 得[*] 故θ的最大似然估计量为[*]－min{X1，X2，…，Xn}
解析
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考研数学三

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