(2003年)设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1。试证必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0。

admin2019-03-19 41

问题 (2003年)设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1。试证必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0。

选项

答案因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，则在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是 m≤f(0)≤M， m≤f(1)≤M， m≤f(2)≤M。所以 [*] 由介值定理知，至少存在一点c∈[0，2]，使 [*] 由f(c)=1=f(3)，且f(x)在[c，3]上连续，在(c，3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在ξ∈(c，3)[*](0，3)，使f’(ξ)=0。

解析

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考研数学三

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