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(2003年)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1。试证必存在ξ∈(0,3),使f’(ξ)=0。
(2003年)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1。试证必存在ξ∈(0,3),使f’(ξ)=0。
admin
2019-03-19
57
问题
(2003年)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1。试证必存在ξ∈(0,3),使f’(ξ)=0。
选项
答案
因为f(x)在[0,3]上连续,所以f(x)在[0,2]上连续,则在[0,2]上必有最大值M和最小值m,于是 m≤f(0)≤M, m≤f(1)≤M, m≤f(2)≤M。 所以 [*] 由介值定理知,至少存在一点c∈[0,2],使 [*] 由f(c)=1=f(3),且f(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导,所以由罗尔定理知,必存在ξ∈(c,3)[*](0,3),使f’(ξ)=0。
解析
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考研数学三
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