数列{an)收敛的充要条件是：{a2k-1}与{a2k}收敛于相同的极限值．

admin2022-10-31 63

问题数列{a_n)收敛的充要条件是：{a_2k-1}与{a_2k}收敛于相同的极限值．

选项

答案必要性已知{a_n}收敛，设[*]a_n=a，则对[*]ε＞0，[*]N，当n＞N时，｜a_n-a｜＜ε，于是，当2k-1＞N，即k＞N₁=[*](N+1)时，｜a_2k-1-a｜＜ε；当2k＞N，即k＞N₂=N／2时，｜a_2k-a｜＜ε．这就是说[*]a_2k-1=a,[*]a_2k=a 充分性已知[*]a_2k-1=[*]a_2k=a．则对[*]ε＞0，必存在N₁，N₂，使得当k＞N₁时有｜a_2k-1-a｜＜ε；当k＞N₂时有｜a_2k-a｜＜ε．取K=max{N₁，N₂}，当k＞K时同时有｜a_2k-1-a｜＜ε，｜a_2k-a｜＜ε 由于k＞K，相当于2k-1＞2K-1，2k＞2K，因此可取N=2K，则当n＞N时，总有｜a_n-a｜＜ε，即[*]a_n=a．

解析

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