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设有3维列向量 问λ取何值时 (1)β可由α1,α2,α3线性表示,且表达式唯一? (2)β可由α1,α2,α3线性表示,但表达式不唯一? (3)β不能由α1,α2,α3线性表示?
设有3维列向量 问λ取何值时 (1)β可由α1,α2,α3线性表示,且表达式唯一? (2)β可由α1,α2,α3线性表示,但表达式不唯一? (3)β不能由α1,α2,α3线性表示?
admin
2021-01-25
66
问题
设有3维列向量
问λ取何值时
(1)β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,且表达式唯一?
(2)β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,但表达式不唯一?
(3)β不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示?
选项
答案
设x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β,得线性方程组 [*] 其系数行列式为 [*] =λ
2
(λ+3) (1)若λ≠0且λ≠-3,则|A|≠0,方程组有唯一解,此时,β可由α
1
,α
2
,α
3
唯一地线性表示. (2)若λ=0,则|A|=0,且方程组为一齐次方程组,因而有无穷多个解,此时β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,但表达式不唯一. (3)若λ=-3,对方程组的增广矩阵[*]作初等行变换: [*] 可见r(A)=2≠r([*])=3,故方程组无解,从而β不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示.
解析
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考研数学三
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