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设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32-2x1x2-2x1x3+2ax2x3(a
设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32-2x1x2-2x1x3+2ax2x3(a
admin
2019-06-06
65
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
-2x
1
x
2
-2x
1
x
3
+2ax
2
x
3
(a<0)通过正交变换化为标准形2y
1
2
+2y
2
2
+by
3
2
.
(Ⅰ)求常数a,b的值;
(Ⅱ)求正交变换矩阵;
(Ⅲ)当|X|=1时,求二次型的最大值.
选项
答案
(Ⅰ)令[*], 则 f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX.因为二次型经过正交变换化为2y
1
2
+2y
2
2
+by
3
2
,所以矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=b.由特征值的性质得[*]解得a=﹣1,b=﹣1. (Ⅱ)当λ
1
=λ
2
=2时,由(2E-A)X=0,得[*]当λ
3
=﹣1时;由(﹣E-A)X=0,得[*] 令[*], 单位化得[*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵,所以|X |=1时,|Y|=1,当|Y|=1时,二次型的最大值为2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jLJ4777K
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考研数学三
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