设二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋x22＋x32－2x1x2－2x1x3＋2ax2x3(a

admin2019-06-06 49

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)＝x₁²＋x₂²＋x₃²－2x₁x₂－2x₁x₃＋2ax₂x₃(a<0)通过正交变换化为标准形2y₁²+2y₂²+by₃²．
(Ⅰ)求常数a，b的值；
(Ⅱ)求正交变换矩阵；
(Ⅲ)当｜X｜＝1时，求二次型的最大值．

选项

答案(Ⅰ)令[*]，则 f(x₁，x₂，x₃)＝X^TAX．因为二次型经过正交变换化为2y₁²＋2y₂²＋by₃²，所以矩阵A的特征值为λ₁＝λ₂＝2，λ₃＝b．由特征值的性质得[*]解得a＝﹣1，b＝﹣1． (Ⅱ)当λ₁＝λ₂＝2时，由(2E－A)X＝0，得[*]当λ₃＝﹣1时；由(﹣E－A)X＝0，得[*] 令[*]，单位化得[*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵，所以｜X ｜＝1时，｜Y｜＝1，当｜Y｜＝1时，二次型的最大值为2．

解析

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考研数学三

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