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  3. 设二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋x22＋x32－2x1x2－2x1x3＋2ax2x3(a

设二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋x22＋x32－2x1x2－2x1x3＋2ax2x3(a

admin2019-06-06  63
问题 设二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋x22＋x32－2x1x2－2x1x3＋2ax2x3(a<0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32．
(Ⅰ)求常数a，b的值；
(Ⅱ)求正交变换矩阵；
(Ⅲ)当｜X｜＝1时，求二次型的最大值．
选项
答案(Ⅰ)令[*]， 则 f(x1，x2，x3)＝XTAX．因为二次型经过正交变换化为2y12＋2y22＋by32，所以矩阵A的特征值为λ1＝λ2＝2，λ3＝b．由特征值的性质得[*]解得a＝﹣1，b＝﹣1． (Ⅱ)当λ1＝λ2＝2时，由(2E－A)X＝0，得[*]当λ3＝﹣1时；由(﹣E－A)X＝0，得[*] 令[*]， 单位化得[*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵，所以｜X ｜＝1时，｜Y｜＝1，当｜Y｜＝1时，二次型的最大值为2．
解析
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考研数学三

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