2. 考研
  3. [2005年] 设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶、n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． 利用上题的结果判断矩阵B=CTA－1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

[2005年] 设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶、n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． 利用上题的结果判断矩阵B=CTA－1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2019-06-25  106
问题 [2005年]  设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶、n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
利用上题的结果判断矩阵B=CTA－1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．
选项
答案证一 因D为正定矩阵，而PTDP合同于D，由命题2．6．3．2(3)知，PTDP为正定矩阵，即[*]为正定矩阵． 选[*]及任意y=[y1，y2，…，yn]－1≠0，则 [*] 故B－CTA－1C为正定矩阵． 证二 由证一知，M为正定矩阵，从而M的各阶顺序主子式大于零，于是B－CTA－1C的各阶顺序主子式也大于零．又因M为对称矩阵，故B－CTA－1C也为实对称矩阵．由命题2．6．3．1(2)知，B－CTA－1C为正定矩阵． 注：命题2．6．3．1设A为二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵，下列条件都是f正定(A为正定矩阵)的充要条件：(2)A的所有顺序主子式大于0； 命题2．6．3．2 正定矩阵有下述常用性质：(3)若A为正定矩阵，且与矩阵B合同，则B为正定矩阵；
解析
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考研数学三

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