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[2005年] 设为正定矩阵,其中A,B分别为m阶、n阶对称矩阵,C为m×n矩阵. 利用上题的结果判断矩阵B=CTA-1C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
[2005年] 设为正定矩阵,其中A,B分别为m阶、n阶对称矩阵,C为m×n矩阵. 利用上题的结果判断矩阵B=CTA-1C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
admin
2019-06-25
68
问题
[2005年] 设
为正定矩阵,其中A,B分别为m阶、n阶对称矩阵,C为m×n矩阵.
利用上题的结果判断矩阵B=C
T
A
-1
C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
选项
答案
证一 因D为正定矩阵,而P
T
DP合同于D,由命题2.6.3.2(3)知,P
T
DP为正定矩阵,即[*]为正定矩阵. 选[*]及任意y=[y
1
,y
2
,…,y
n
]
-1
≠0,则 [*] 故B-C
T
A
-1
C为正定矩阵. 证二 由证一知,M为正定矩阵,从而M的各阶顺序主子式大于零,于是B-C
T
A
-1
C的各阶顺序主子式也大于零.又因M为对称矩阵,故B-C
T
A
-1
C也为实对称矩阵.由命题2.6.3.1(2)知,B-C
T
A
-1
C为正定矩阵. 注:命题2.6.3.1设A为二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)的矩阵,下列条件都是f正定(A为正定矩阵)的充要条件:(2)A的所有顺序主子式大于0; 命题2.6.3.2 正定矩阵有下述常用性质:(3)若A为正定矩阵,且与矩阵B合同,则B为正定矩阵;
解析
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考研数学三
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