计算曲面积分其中S是球面x2＋y2＋z2＝a2的上半部分与平面z＝0所围成的闭曲面外侧。

admin2015-11-16 72

问题计算曲面积分

其中S是球面x²＋y²＋z²＝a²的上半部分与平面z＝0所围成的闭曲面外侧。

选项

答案解因P＝xz²，Q＝x²y，R＝y²z，故 [*] 由高斯公式得 [*](xz²dydz＋x²ydzdx＋y²zdxdy)＝[*](x²＋y²＋z²)dxdydz。因积分区域由球面所围成，且被积函数中含有x²＋y²＋z²因子，用球坐标系计算较简，故 [*]xz²dydz＋x²ydzdx＋y²zdxdy＝∫₀^2πdθ∫₀^π/2dφ∫₀^aρ²·ρ²sinφdρ＝[*]。

解析

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[*]先画出积分区域，如下图阴影部分所示．然后调换积分次序(先对y后对x)计算．这是因为被积函数为直接对x积分是无法求出结果的．解交换积分次序(先对y后对x)计算，得到：
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