设f(x)=在x=0处二阶导数存在,则常数a,b分别是

admin2020-12-10  27

问题 设f(x)=在x=0处二阶导数存在,则常数a,b分别是

选项 A、a=1,b=1
B、a=1,b=
C、a=1,b=2
D、a=2,b=1

答案B

解析 显然有
f(x)=
即f(x)在x=0处连续,先求出
f-′(0)=(x2+ax+1)′|x=0=a,
f+′(0)=(ex+bsinx2)′|x=0=(ex+2bxcosx2)|x=0=1.
要求f′(0)f+′(0)=f-′(0)即a=1.此时

    f-″(0)=(2x+1)′|x=0=2,
f+″(0)=(ex+2bxcosx2)′|x=0=(ex+2bcosx2—4bx2sinx2)|x=0
=1+2b.
要求f″(0)f-″(0)=f+″(0)即2=1+2b,b=
因此选B.
分析2:我们考虑分段函数
f(X)=
其中f1(x)和f2(x)均在x=x0邻域k阶可导,则f(x)在分界点x=x0有k阶导数的充要条件是f1(x)和f2(x)在x=x0处有相同的k阶泰勒公式:
f1(x)=f2(x)
=a0+a1(x—x0)+a2(x—x0)2+…+ak(x—x0)k+o((x—x0)k)(x→x0)
把这一结论用于本题:取x0=0.
f1(x)=1+ax+x2
f2(x)=ex+bsinx2
=1+x+x2+o(x2)+b(x2+o(x2))
=1+x+(b+)x2+o(x2).
因此f(x)在x=0处二阶可导
a=1,b+=1,即a=1,b=
故应选B.
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