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设A是n阶矩阵,证明: r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.
设A是n阶矩阵,证明: r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.
admin
2019-05-27
50
问题
设A是n阶矩阵,证明:
r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.
选项
答案
因为r(A)=1,所以存在非零列向量a,β,使得A=aβ
T
,显然tr(A)=(a,β),因为tr(A)≠0,所以(a,β)=k≠0. 令AX=λx,因为A
2
=kA,所以λ
2
X=kλX,或(λ
2
-kλ)X=0,注意到X≠0,所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k. 因为λ
1
+λ
2
+…+λ
n
=tr(A)=k,所以λ
1
=k,λ
2
=λ
3
=...=λ
n
=0,由r(0E-A)=r(A)=1,得A一定可以对角化。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PSV4777K
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考研数学二
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