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  3. 设A是n阶矩阵，证明： r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.

设A是n阶矩阵，证明： r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.

admin2019-05-27  38
问题 设A是n阶矩阵，证明：
r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.
选项
答案因为r(A)=1,所以存在非零列向量a,β，使得A=aβT，显然tr(A)=(a,β),因为tr(A)≠0，所以（a,β)=k≠0. 令AX=λx,因为A2=kA,所以λ2X=kλX,或（λ2-kλ)X=0,注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k. 因为λ1+λ2+…+λn=tr(A)=k,所以λ1=k,λ2=λ3=...=λn=0,由r(0E-A)=r(A)=1,得A一定可以对角化。
解析
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考研数学二

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