设A是n阶矩阵，证明： r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.

admin2019-05-27 81

问题设A是n阶矩阵，证明：
r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.

选项

答案因为r(A)=1,所以存在非零列向量a,β，使得A=aβ^T，显然tr(A)=(a,β),因为tr(A)≠0，所以（a,β)=k≠0. 令AX=λx,因为A²=kA,所以λ²X=kλX,或（λ²-kλ)X=0,注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k. 因为λ₁+λ₂+…+λ_n=tr(A)=k,所以λ₁=k,λ₂=λ₃=...=λ_n=0,由r(0E-A)=r(A)=1,得A一定可以对角化。

解析

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