设A是n阶矩阵,证明: r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.

admin2019-05-27  29

问题 设A是n阶矩阵,证明:
r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.

选项

答案因为r(A)=1,所以存在非零列向量a,β,使得A=aβT,显然tr(A)=(a,β),因为tr(A)≠0,所以(a,β)=k≠0. 令AX=λx,因为A2=kA,所以λ2X=kλX,或(λ2-kλ)X=0,注意到X≠0,所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k. 因为λ12+…+λn=tr(A)=k,所以λ1=k,λ23=...=λn=0,由r(0E-A)=r(A)=1,得A一定可以对角化。

解析
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