设A是n阶矩阵，证明： r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.

admin2019-05-27 76

问题设A是n阶矩阵，证明：
r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.

选项

答案因为r(A)=1,所以存在非零列向量a,β，使得A=aβ^T，显然tr(A)=(a,β),因为tr(A)≠0，所以（a,β)=k≠0. 令AX=λx,因为A²=kA,所以λ²X=kλX,或（λ²-kλ)X=0,注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k. 因为λ₁+λ₂+…+λ_n=tr(A)=k,所以λ₁=k,λ₂=λ₃=...=λ_n=0,由r(0E-A)=r(A)=1,得A一定可以对角化。

解析

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考研数学二

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设f(x)在[0，2]上二阶可导，且f"(x)＜0，f’(0)=1，f’(2)=－1，f(0)=f(2)=1．证明：2≤∫02f(x)dx≤3．
一个容器的内表面侧面由曲线x=(0≤x≤2，y＞0)绕x轴旋转而成，外表面由曲线x=在点(2，)的切线位于点(2，)与x轴交点之间的部分绕x轴旋转而成，此容器材质的密度为μ，求此容器自身的质量M及其内表面的面积S．
设f(x)在(0，+∞)内一阶连续可微，且对x∈(0，+∞)满足x∫01f(xt)dt=2∫0xf(t)dt+xf(x)+x3，又f(1)=0，求f(x)．
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