求函数u=在约束条件下的最大值与最小值．

admin2019-06-06 73

问题求函数u=

在约束条件

下的最大值与最小值．

选项

答案求函数u=[*]在约束条件[*]下的最大值与最小值，等价于求函数v=x²+y²+z²在同样的约束条件下的最大值与最小值．令 F(x，y，z，μ，λ)=x²+y²+z²+λ(x²+y²－z)+μ(x+y+z－4)，由[*]=0得 2x+2λx+μ=0， ① 2y+2λy+μ=0， ② 2z－λ+μ=0， ③ x²+y²－z=0， ④ x+y+z－4=0． ⑤ 解得(λ+1)(x－y)=0．若λ=－1，可得μ=0，z=－[*]，与④式矛盾．故只能推得x=y．再由④、⑤两式，得(x₁，y₁，z₁)=(1，1，2)或(x₂，y₂，z₂)=(－2，－2，8)．由约束条件x²+y²－z=0及x+y+z－4=0可见，(x，y，z)只能在有限范围内变动，可见u=[*]在此范围内必存在最小值与最大值．所以 minu=[*]

解析

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