2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b为常数，证明：对任意0＜x＜1有｜f’(x)｜≤2a+．

设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b为常数，证明：对任意0＜x＜1有｜f’(x)｜≤2a+．

admin2022-06-04  43
问题 设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b为常数，证明：对任意0＜x＜1有｜f’(x)｜≤2a+．
选项
答案由泰勒公式可得，对任意x∈[0，1]，有 f(0)=f(x)-f’(x)x+[*]f”(ξ1)x2， 0＜ξ1＜x f(1)=f(x)+f’(x)(1-x)+[*]f”(ξ2)(1-x)2，x＜ξ2＜1 于是 f’(x)=f(1)-f(0)+[*][f”(ξ1)x2-f”(ξ2)(1-x)2] 故｜f’(x)｜≤｜f(1)｜+｜f(0)｜+[*]｜f”(ξ1)x2-f”(ξ2)(1-x)2｜≤2a+[*]b[x2+(1-x)2]， 当0＜x＜1时，x2+(1-x)2≤1，所以对任意0＜x＜1，有｜f’(x)｜≤2a+[*]．
解析
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考研数学三

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