设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b为常数，证明：对任意0＜x＜1有｜f’(x)｜≤2a+．

admin2022-06-04 73

问题设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b为常数，证明：对任意0＜x＜1有｜f’(x)｜≤2a+

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选项

答案由泰勒公式可得，对任意x∈[0，1]，有 f(0)=f(x)-f’(x)x+[*]f”(ξ₁)x²， 0＜ξ₁＜x f(1)=f(x)+f’(x)(1-x)+[*]f”(ξ₂)(1-x)²，x＜ξ₂＜1 于是 f’(x)=f(1)-f(0)+[*][f”(ξ₁)x²-f”(ξ₂)(1-x)²] 故｜f’(x)｜≤｜f(1)｜+｜f(0)｜+[*]｜f”(ξ₁)x²-f”(ξ₂)(1-x)²｜≤2a+[*]b[x²+(1-x)²]，当0＜x＜1时，x²+(1-x)²≤1，所以对任意0＜x＜1，有｜f’(x)｜≤2a+[*]．

解析

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考研数学三

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