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若r(Am×n)=n,则对任何Bn×p,有r(AB)=r(B).即用列满秩矩阵A(A的秩等于A的列数,则称A为列满秩矩阵)左乘B,不改变矩阵的秩.
若r(Am×n)=n,则对任何Bn×p,有r(AB)=r(B).即用列满秩矩阵A(A的秩等于A的列数,则称A为列满秩矩阵)左乘B,不改变矩阵的秩.
admin
2018-07-27
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问题
若r(A
m×n
)=n,则对任何B
n×p
,有r(AB)=r(B).即用列满秩矩阵A(A的秩等于A的列数,则称A为列满秩矩阵)左乘B,不改变矩阵的秩.
选项
答案
若Bx=0,两端左乘A,得ABx=0,这说明方程组Bx=0的解都是方程组ABx=0的解;反之,若ABx=0,即A(Bx)=0,因A的列向量组线性无关,故方程组Ax=0只有零解,因此由A(Bx)=0得Bx=0,这说明ABx=0的解都是Bx=0的解.以上两方面说明方程组Bx=0与方程组ABx=0同解,由r(A)=r(B)即得r(AB)=r(B).
解析
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考研数学三
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