在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

admin2018-04-15 53

问题在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

选项

答案设所求曲线为y=y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为 [*] 令Y=0，得X=x+yy′，该点到x轴法线段PQ的长度为[*] 由题意得[*]即yy"=1+y′²．令y′=p，则[*]则有[*]或者[*]两边积分得 [*]由y(1)=1，y′(1)=0得C₁=0，所以[*]变量分离得[*]两边积分得[*]由y(1)=1得[*] [*]

解析

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考研数学三

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