在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

admin2018-04-15  55

问题 在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

选项

答案设所求曲线为y=y(x),该曲线在点P(x,y)的法线方程为 [*] 令Y=0,得X=x+yy′,该点到x轴法线段PQ的长度为[*] 由题意得[*]即yy"=1+y′2. 令y′=p,则[*]则有[*]或者[*]两边积分得 [*]由y(1)=1,y′(1)=0得C1=0,所以[*]变量分离得[*]两边积分得[*]由y(1)=1得[*] [*]

解析
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