在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

admin2018-04-15 81

问题在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

选项

答案设所求曲线为y=y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为 [*] 令Y=0，得X=x+yy′，该点到x轴法线段PQ的长度为[*] 由题意得[*]即yy"=1+y′²．令y′=p，则[*]则有[*]或者[*]两边积分得 [*]由y(1)=1，y′(1)=0得C₁=0，所以[*]变量分离得[*]两边积分得[*]由y(1)=1得[*] [*]

解析

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考研数学三

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设函数f(x)在(0，+∞)上二阶可导，且f”(x)＞0，记un=f(n)，n=1，2，…，又u1＜u2，证明
设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是()
(2)证明对任意的常数λ＞0，级数收敛．
假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g”(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：(1)在开区间(a，b)内g(x)≠0；(2)在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使
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设则A-1=____________．
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