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设f’(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),f’(a)f’(b)>0,试证:至少存在一点ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=0.
设f’(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),f’(a)f’(b)>0,试证:至少存在一点ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=0.
admin
2017-05-31
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问题
设f’(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),f’(a)f’(b)>0,试证:至少存在一点ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=0.
选项
答案
不妨设f’(a)>0,则由f’(a)f’(b)>0可知,f’(b)>0.由导数的定义: [*] f(x
2
)<f(b)<f(a), 于是有f(x
2
)<f(a)<f(x
1
).由介值定理,存在点η∈(x
1
,x
2
),使得f(η)=f(a).由洛尔定理可知 存在点ξ
1
∈(x
1
,η),使得f(ξ
1
)=0, 存在点ξ
2
∈(η,x
2
),使得f(ξ
2
)=0. 所以,f’(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上连续,在(ξ
1
,ξ
2
)内可导,由洛尔定理,存在点ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得f’’(ξ)=0.
解析
证f’’(ξ)=0的关键是找出使得f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
)=0的区间[ξ
1
,ξ
2
].由f’(a)f’(b)>0及导数的定义、介值定理和洛尔定理便可找到这样的ξ
1
和ξ
2
.
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