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(1998年试题,二)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量且当△x→0时,α是△x的高阶无穷小,y(0)=π.则y(1)等于( ).
(1998年试题,二)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量且当△x→0时,α是△x的高阶无穷小,y(0)=π.则y(1)等于( ).
admin
2021-01-15
22
问题
(1998年试题,二)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量
且当△x→0时,α是△x的高阶无穷小,y(0)=π.则y(1)等于( ).
选项
A、2π
B、π
C、
D、
答案
D
解析
先由题意,建立y(x)所满足的一阶微分方程.由题设及导数的定义,有
这是可分离变量的方程,分离变量为
两边积分,得|lny|=arctanx+C,其中C为任意常数.将y(0)=π代入上式,可求出C=lnπ,因此ln|y|=uretanx+lnπ将x=1代入,可求出
选D.
本题的关键是要得到微分方程
得到该微分方程有两种方法:①由微分与增量的关系可知
应是dy,从而可知△x的系数应是y
’
,即
②由
两边除以△x后,令,△x→0取极限亦可得
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考研数学一
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