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设α1,α2,…,αs,β为n维向量,则下列结论正确的是( ).
设α1,α2,…,αs,β为n维向量,则下列结论正确的是( ).
admin
2021-07-27
42
问题
设α
1
,α
2
,…,α
s
,β为n维向量,则下列结论正确的是( ).
选项
A、若β不能被向量组α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,则α
1
,α
2
,…,α
s
必线性无关
B、若向量组α
1
,α
2
,…,α
s
,β线性相关,则β可以被向量组α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示
C、β可以被向量组α
1
,α
2
,…,α
s
的部分向量线性表示,则β可以被α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示
D、β可以被向量组α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,则β可以被其任何一个部分向量组线性表示
答案
C
解析
①若β不能被向量组α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,则r(α
1
,α
2
,…,α
s
,β)=r(α
1
,α
2
,…,α
s
)+1,至于α
1
,α
2
,…,α
s
,β是否线性无关,取决于α
1
,α
2
,…,α
s
是否线性无关,由于题中未明示,故(A)不正确.
②若向量组α
1
,α
2
,…,α
s
,β线性相关,则其中至少有一个向量可以被其余向量线性表示.但“有一个”未必一定是β,故(B)不正确.
③β可以被向量组α
1
,α
2
,…,α
s
的部分向量线性表示,则也一定可以被α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,事实上,若β可以被部分组α
1
,α
2
,…,α
r
(r<s)线性表示,有β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
,也有β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
+0·α
r+1
+…+0·α
s
,故(C)正确.
④β可以被向量组α
1
,α
2
,…,α
s
线性表示,但不一定被其任何一个部分向量组线性表示,如β=[2,0]
T
可以被向量组α
1
=[1,0]
T
,α
2
=[0,2]
T
线性表示,但不能由部分组α
2
=[0,2]
T
线性表示,故(D)不正确.
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考研数学二
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