设α1，α2，…，αs，β为n维向量，则下列结论正确的是( )．

admin2021-07-27 48

问题设α₁，α₂，…，α_s，β为n维向量，则下列结论正确的是( )．

选项 A、若β不能被向量组α₁，α₂，…，α_s线性表示，则α₁，α₂，…，α_s必线性无关
B、若向量组α₁，α₂，…，α_s，β线性相关，则β可以被向量组α₁，α₂，…，α_s线性表示
C、β可以被向量组α₁，α₂，…，α_s的部分向量线性表示，则β可以被α₁，α₂，…，α_s线性表示
D、β可以被向量组α₁，α₂，…，α_s线性表示，则β可以被其任何一个部分向量组线性表示

答案C

解析 ①若β不能被向量组α₁，α₂，…，α_s线性表示，则r(α₁，α₂，…，α_s，β)=r(α₁，α₂，…，α_s)+1，至于α₁，α₂，…，α_s，β是否线性无关，取决于α₁，α₂，…，α_s是否线性无关，由于题中未明示，故(A)不正确．
②若向量组α₁，α₂，…，α_s，β线性相关，则其中至少有一个向量可以被其余向量线性表示．但“有一个”未必一定是β，故(B)不正确．
③β可以被向量组α₁，α₂，…，α_s的部分向量线性表示，则也一定可以被α₁，α₂，…，α_s线性表示，事实上，若β可以被部分组α₁，α₂，…，α_r(r＜s)线性表示，有β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r，也有β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r+0·α_r+1+…+0·α_s，故(C)正确．
④β可以被向量组α₁，α₂，…，α_s线性表示，但不一定被其任何一个部分向量组线性表示，如β=[2，0]^T可以被向量组α₁=[1，0]^T，α₂=[0，2]^T线性表示，但不能由部分组α₂=[0，2]^T线性表示，故(D)不正确．

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