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求a的值,使得圆周x2+(y-1)2=1与椭圆=a2(a>0)内相切.
求a的值,使得圆周x2+(y-1)2=1与椭圆=a2(a>0)内相切.
admin
2023-01-04
22
问题
求a的值,使得圆周x
2
+(y-1)
2
=1与椭圆
=a
2
(a>0)内相切.
选项
答案
[*] 依题设,如图2-2所示,当圆周与椭圆相切时,椭圆上任一点(x,y)到圆心的距离d=[*]的最小值为圆的半径1,即x
2
+(y-1)
2
在条件[*]=a
2
下的最小值为1,求a的值.用拉格朗日乘数法.令L=x
2
+(y-1)
2
+λ([*]-a
2
),则 [*] 由式①,得x=0或λ=-3/2.依题意,切点处x≠0,将λ=-3/2代入式②,得y=3/2.将y=3/2代入式③,得x
2
=[*].将x
2
=[*],y=3/2代入x
2
+(y-1)
2
=1,解得a=1(a>0).
解析
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考研数学一
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