设随机变量U在[－3，3]上服从均匀分布，记随机变量 (I)求Cov(X，Y)，并判断随机变量X与Y的独立性； (Ⅱ)求D[(1﹢X)Y]。

admin2020-05-19 58

问题设随机变量U在[－3，3]上服从均匀分布，记随机变量

(I)求Cov(X，Y)，并判断随机变量X与Y的独立性；
(Ⅱ)求D[(1﹢X)Y]。

选项

答案(I)已知X和Y的全部取值只有－1和1，且 P{X﹦－1，Y﹦－1}﹦P{U≤－2，U≤1}﹦P{U≤－2}﹦[*]， P{X﹦－1，Y﹦1}P{U≤－2，U＞1}﹦0， P{X﹦1，Y﹦－1}﹦P{U﹥－2，U≤1}﹦P{－2﹤U≤1}﹦[*]， p{X﹦1，Y﹦1}﹦P{U＞－2，U﹥1}﹦P{U＞1}﹦[*]，因此(X，Y)的分布律及边缘分布律为 [*] 从而可计算 E(XY)﹦0，[*]，因此可得 Cov(X，Y)﹦E(XY)－E(X)E(Y)﹦[*]，根据相互独立的性质可知随机变量X和Y不独立。 (Ⅱ)根据随机变量乘积的方差公式 D[(1﹢X)Y]﹦D(Y﹢XY)﹦D(Y)﹢D(XY)﹢2Cov(Y，XY) ﹦D(Y)﹢D(XY)﹢2E(XY²)－2E(Y)E(XY)，由上一问可知E(X)﹦[*]，因此 E(Y²)﹦[*]，D(Y)﹦E(Y²)－[E(Y)]²﹦[*]，通过计算可得随机变量XY和XY²的分布律如下 [*] 因此可分别计算得 [*] D(XY)﹦E(X²Y²)－[E(XY)]²﹦1－0﹦1，E(XY²)﹦[*] 代入D[(1﹢X)Y]的表达式可得D[(1﹢X)Y]﹦[*] 本题考查协方差的计算、独立性的判断。先通过已知条件写出(X，Y)的分布律及边缘分布律，然后分别计算X和Y的期望值，利用公式Cov(X，Y)﹦E(XY)－E(X)E(Y)计算协方差，并通过判断协方差是否等于0验证X和Y，是否独立。

解析

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考研数学一

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