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设随机变量U在[-3,3]上服从均匀分布,记随机变量 (I)求Cov(X,Y),并判断随机变量X与Y的独立性; (Ⅱ)求D[(1﹢X)Y]。
设随机变量U在[-3,3]上服从均匀分布,记随机变量 (I)求Cov(X,Y),并判断随机变量X与Y的独立性; (Ⅱ)求D[(1﹢X)Y]。
admin
2020-05-19
54
问题
设随机变量U在[-3,3]上服从均匀分布,记随机变量
(I)求Cov(X,Y),并判断随机变量X与Y的独立性;
(Ⅱ)求D[(1﹢X)Y]。
选项
答案
(I)已知X和Y的全部取值只有-1和1,且 P{X﹦-1,Y﹦-1}﹦P{U≤-2,U≤1}﹦P{U≤-2}﹦[*], P{X﹦-1,Y﹦1}P{U≤-2,U>1}﹦0, P{X﹦1,Y﹦-1}﹦P{U﹥-2,U≤1}﹦P{-2﹤U≤1}﹦[*], p{X﹦1,Y﹦1}﹦P{U>-2,U﹥1}﹦P{U>1}﹦[*], 因此(X,Y)的分布律及边缘分布律为 [*] 从而可计算 E(XY)﹦0,[*], 因此可得 Cov(X,Y)﹦E(XY)-E(X)E(Y)﹦[*], 根据相互独立的性质可知随机变量X和Y不独立。 (Ⅱ)根据随机变量乘积的方差公式 D[(1﹢X)Y]﹦D(Y﹢XY)﹦D(Y)﹢D(XY)﹢2Cov(Y,XY) ﹦D(Y)﹢D(XY)﹢2E(XY
2
)-2E(Y)E(XY), 由上一问可知E(X)﹦[*],因此 E(Y
2
)﹦[*],D(Y)﹦E(Y
2
)-[E(Y)]
2
﹦[*],通过计算可得随机变量XY和XY
2
的分布律如下 [*] 因此可分别计算得 [*] D(XY)﹦E(X
2
Y
2
)-[E(XY)]
2
﹦1-0﹦1,E(XY
2
)﹦[*] 代入D[(1﹢X)Y]的表达式可得D[(1﹢X)Y]﹦[*] 本题考查协方差的计算、独立性的判断。先通过已知条件写出(X,Y)的分布律及边缘分布律,然后分别计算X和Y的期望值,利用公式Cov(X,Y)﹦E(XY)-E(X)E(Y)计算协方差,并通过判断协方差是否等于0验证X和Y,是否独立。
解析
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