设 求J2=∫CP(x,y)dx+Q(x,y)dy,其中C是圆周x2+y2=32,取逆时针方向.

admin2019-01-25  26

问题
求J2=∫CP(x,y)dx+Q(x,y)dy,其中C是圆周x2+y2=32,取逆时针方向.

选项

答案因为[*] 也考虑用格林公式计算J2.因为P,Q在点(一1,0)处没定义,所以不能在C围成的区域D2上直接用格林公式.但可在D2中挖掉以(一1,0)为圆心,ε>0充分小为半径的圆所余下的区域中用格林公式见下图.求解如下: [*] 以(一1,0)为圆心ε>0充分小为半径作圆周Cε-(取顺时针方向),Cε与C围成的区域记为Dε,在Dε上用格林公式得 ∫CPdx+Qdy+∫Cε-Pdx+Qdy=[*] => J2CPdx+Qdy=- ∫Cε-Pdx+Qdy=∫Cε+Pdx+Qdy (*) 其中Cε+取逆时针方向. 用“挖洞法”求得(*)式后,可用Cε的方程 (x+1)2+y22简化被积表达式,然后用格林公式得 [*] 其中Dε*是Cε+所围的区域.

解析
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