2. 考研
  3. 设A为n阶正定矩阵．证明：存在唯一正定矩阵H，使得A=H2．

设A为n阶正定矩阵．证明：存在唯一正定矩阵H，使得A=H2．

admin2016-09-19  86
问题 设A为n阶正定矩阵．证明：存在唯一正定矩阵H，使得A=H2．
选项
答案由于A为n阶正定矩阵，故存在正交矩阵U，使得 [*] 这里，0＜λ1≤λ2≤…≤λn为A的全部特征值． 取[*] 则[*] 并且H仍为正定矩阵． 如果存在另一个正定矩阵H1，使得A=H12，对于H1，存在正交矩阵U1，使得 [*] 从而[*] 这里0＜μ12≤μ22≤…≤μn2为A的全部特征值．故μi2=λi(i=1，2，…，n)，于是μi=[*](i=1，2，…，n)， 从而[*] 由于A=H2=H12，故[*] [*] 则λipij=λipij(i，j=1，2，…，n)，当λi≠λj时，pij=0，这时[*](i，j=1，2，…，n)；当λi=λj时，当然有[*](i，j=1，2，…，n)．故 [*] 即H=H1．
解析
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考研数学三

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