2. 考研
  3. (1)若A可逆且A～B，证明：A*～B*． (2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．

(1)若A可逆且A～B，证明：A*～B*． (2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．

admin2019-09-27  23
问题 (1)若A可逆且A～B，证明：A*～B*．
(2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．
选项
答案(1)因为A可逆且A～B，所以B可逆，A，B的特征值相同且｜A｜=｜B｜． 因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P－1AP=B， 而A*=｜A｜A－1，B*=｜B｜B－1， 于是由P－1AP=B，得(P－1AP)－1=B－1，即P－1A－1P=B－1， 故P－1｜A｜A－1P=｜A｜B－1或P－1A*P=B*，于是A*～B*． (2)因为A～B，所以存在可逆阵P，使得P－1AP=B，即AP=PB， 于是AP=PBPP－1=P(BP)P－1，故AP～BP．
解析
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考研数学一

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