2. 考研
  3. 设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的( )

设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的( )

admin2016-04-11  43
问题 设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的(    )
选项 A、必要非充分条件
B、充分非必要条件
C、充分必要条件
D、既非充分也非必要条件
答案A
解析 记向量组(I)：α1+kα2，α2+kα3；
    向量组(Ⅱ)：α1，α2，α3．
(I)是由(Ⅱ)线性表出的，写成矩阵形式即是：
    [α1+kα3，α2+kα3]=[α1，α2，α3]
当(Ⅱ)线性无关时．矩阵[α1，α2，α3]为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵
的秩为2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为2，也就是该矩阵的列秩为2，从而知向量组(I)线性无关，所以，(I)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要条件．
    但(I)线性无关不是(II)线性无关的充分条件，例如当k=l=0时，(I)线性无关即向量组α1，α2线性无关，却不能保证(Ⅱ)线性无关．
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