求函数f(x，y)=xy－－y在由抛物线y=4－x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。

admin2017-11-30 101

问题求函数f(x，y)=xy－

－y在由抛物线y=4－x²(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。

选项

答案区域D如图1所示。 [*] (1)边界L₁：y=0(0≤x≤2)，此时f(x，0)=[*]，函数在此边界的最大值为f(0，0)=0，最小值为f(2，0)=[*]。边界L₂：x=0(0≤y≤4)，则f(0，y)=－y，函数在此边界的最大值为f(0，0)=0，最小值为f(0，4)=－4。边界L₃：y=4－x²(x≥0)，则 [*] (2)区域D内部，f(x，y)=xy－[*]－y，则 [*] f"_xx(x，y)=0，f"_xy(x，y)=1，f"_yy(x，y)=0，故AC－B²＜0，函数在区域D内部不存在极值。综上所述，函数在区域D上的最大值为f(0，0)=0；最小值为f(0，4)=－4。

解析

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考研数学三

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