设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ1=1，属于λ1的特征向量为(1，一1)T，若｜A｜=一2，则A=_________。

admin2019-08-11 64

问题设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ₁=1，属于λ₁的特征向量为(1，一1)^T，若｜A｜=一2，则A=_________。

选项

答案[*]

解析设矩阵A的特征值λ₁=1和λ₂对应的特征向量分别为α₁=(1，一1)^T和α₂=(x₁，x₂)^T。实对称矩阵必可相似对角化，即存在可逆矩阵Q，使得

，而相似矩阵的行列式相等，所以

即λ₂=一2。又实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交，所以α₁^Tα₂=0，即x₁一x₂=0.方程组x₁一x₂=0的基础解系为α₂=(1，1)^T。令

则

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