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设a为常数,f(x)=aex一1一x一,则f(x)在区间(一∞,+∞)内的零点个数情况为 ( )
设a为常数,f(x)=aex一1一x一,则f(x)在区间(一∞,+∞)内的零点个数情况为 ( )
admin
2019-02-01
31
问题
设a为常数,f(x)=ae
x
一1一x一
,则f(x)在区间(一∞,+∞)内的零点个数情况为 ( )
选项
A、当a>0时f(x)无零点,当a≤0时f(z)恰有一个零点
B、当a>0时f(x)恰有两个零点,当a≤0时f(x)无零点
C、当a>0时f(x)恰有两个零点,当a≤0时f(x)恰有一个零点
D、当a>0时f(x)恰有一个零点,当a≤0时f(x)无零点
答案
D
解析
本题考查一元函数微分学的应用,讨论函数的零点问题.
令g(x)=f(x)e
一x
=一a一(1+x+
)e
一x
,由于e
一x
>0,g(x)与f(x)的零点完全一样,又g’(x)=
≥0,且仅在一点x=0等号成立,故g(x)严格单调增,所以g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
当a>0时,f(一∞)<0,f(+∞)>0,由连续函数零点定理,f(x)至少有一个零点,至少、至多合在一起,所以f(x)正好有一个零点.
当a≤0,f(x)e
一x
=a一(1+x+
)e
一x
<0,f(x)无零点.
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考研数学二
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