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  3. 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 令随机变量U＝－X，V＝X＋Y，W＝X－Y，求： (Ⅰ)U的分布函数F1(u)； (Ⅱ)V的分布函数F2(v)； (Ⅲ)W的分布函数F3(w)； (Ⅳ)PV≤v，W≥

设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 令随机变量U＝－X，V＝X＋Y，W＝X－Y，求： (Ⅰ)U的分布函数F1(u)； (Ⅱ)V的分布函数F2(v)； (Ⅲ)W的分布函数F3(w)； (Ⅳ)PV≤v，W≥

admin2021-11-15  7
问题 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为

    令随机变量U＝－X，V＝X＋Y，W＝X－Y，求：
    (Ⅰ)U的分布函数F1(u)；
    (Ⅱ)V的分布函数F2(v)；
    (Ⅲ)W的分布函数F3(w)；
    (Ⅳ)PV≤v，W≥w}(v＞w＞0)．
选项
答案(Ⅰ)由于随机变量X只取正值，因此随机变量U＝－X只取负值．当u＜0时． F1(u)＝P{U≤u}＝P{－X≤u}＝P{X≥－u} ＝[*]f(χ，y)dχdy＝∫－u＋∞dχ∫0χ4e－2χdy＝∫－u＋∞4χe－2χdχ＝(1－2u)e2u， 故U的分布函数F1(u)为 [*] (Ⅱ)当v＜0时，F2(v)＝0；当v≥0时， [*] 故V的分布函数F2(v)为 [*] (Ⅲ)当w＜0时，F3(w)＝0；当w≥0时， F3(w)＝P{X－Y≤w}＝[*]f(χ，y)dχdy＝∫0wdχ∫0χ4e－2χdy＋∫w＋∞dχ∫χ－ww4e－2χdy ＝∫0w4e－2χdχ＋∫w＋∞4(χ－χ＋w)e－2χdχ ＝(－2χe－2χ－e－2χ}｜0w－2we－2χ｜w＋∞ ＝1－2we－2w－e－2w＋2we－2w＝1－e－2w 故W的分布函数F3(w)为 [*] (Ⅳ)P{V≤v，W≥w}＝P{X＋Y≤v，X－Y≥w} [*]
解析
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考研数学一

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