设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．利用第一问的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2020-04-30 30

问题设

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
利用第一问的结果判断矩阵B-C^TA^-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

选项

答案矩阵B-C^TA^-1C是正定矩阵．由第一问的结果可知，矩阵D合同于矩阵 [*] 又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵．因矩阵M为对称矩阵，故B-C^TA^-1C为对称矩阵．对x=(0，0，…，0)^T及任意的y=(y₁，y₂，…，y_n)^T≠0，有 [*] 即y^T(B-C^TA^-1C)y＞0，故B-C^TA^-1C为正定矩阵．

解析

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