2. 考研
  3. 设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，问： (1)α1能否由α2，α3线性表示?证明你的结论． (2)α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．

设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，问： (1)α1能否由α2，α3线性表示?证明你的结论． (2)α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．

admin2020-09-25  52
问题 设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，问：
  (1)α1能否由α2，α3线性表示?证明你的结论．
  (2)α4能否由α1，α2，α3线性表示?证明你的结论．
选项
答案(1)α1能由α2，α3线性表示． 因为α1，α2，α3线性相关，所以有不全为零的数k1，k2，k3使k1α1+k2α2+k3α3=0． 下证k1≠0．若k1=0，则k2，k3不全为零，并且k2α2+k3α3=0，所以α2，α3线性相关，从而α2，α3，α4也线性相关，矛盾，所以k1≠0． 从而有[*]所以α1可由α2，α3线性表示． (2)α4不能由α1，α2，α3线性表示． 若α4可由α1，α2，α3线性表示，则有一组数k1，k2，k3使α4=k1α1+k2α2+k3α3．而由(1)知，α1可由α2，α3线性表示，从而有一组数l2，l3，使α1=l2α2+l3α3，从而有 α4=k1(l2α2+l3α3)+k2α2+k3α3=(k1l2+k2)α2+(k1l3+k3)α3， 所以(k1l2+k2)α2+(k1l3+k3)α3+(一1)α4=0． 而k1l2+k2，k1l3+k3，一1为不全为零的数，因此α2，α3，α4线性相关，矛盾，所以α4不能由α1，α2，α3线性表示．
解析
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考研数学三

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