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(2012年)已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)一2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2ex。 (I)求f(x)的表达式； (Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0xf(一t2)dt的拐点。
(2012年)已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)一2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2ex。 (I)求f(x)的表达式； (Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0xf(一t2)dt的拐点。
admin
2019-03-19
75
问题
(2012年)已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)一2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2e
x
。
(I)求f(x)的表达式；
(Ⅱ)求曲线y=f(x
2
)∫
0
x
f(一t
2
)dt的拐点。
选项
答案
(I)特征方程为r
2
+r一2=0，特征根为r
1
=1，r
2
=一2，因此齐次微分方程f"(x)+f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C
1
e
x
+C
2
e
-2x
。 再由f"(x)+f(x)=2e
x
，得2C
1
e
x
+5C
2
e
-2x
=2e
x
，可知C
1
=1，C
2
=0。故f(x)=e
x
。 [*] 令y"=0，原式可得x=0。 为了说明x=0是y"=0唯一的解，需讨论y"在x＞0和x＜0时的符号。 [*] 故x=0是y"=0唯一的解。 同时，由上述讨论可知曲线y=f(x
2
)∫
0
x
f(一t
2
)dt在x=0左右两边的凹凸性相反，可知点(0，0)是曲线y=f(x
2
)∫
0
x
f(一t
2
)dt唯一的拐点。
解析
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0
考研数学三
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