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设二次型经过正交变换X=QY化为标准形,求参数a,b及正交矩阵Q.
设二次型经过正交变换X=QY化为标准形,求参数a,b及正交矩阵Q.
admin
2019-07-22
101
问题
设二次型
经过正交变换X=QY化为标准形
,求参数a,b及正交矩阵Q.
选项
答案
二次型[*]的矩阵形式为 f=X
T
AX 其中A=[*],所以A~B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵),于是A的特征值为1,1,4. 而|λE-A|=λ
3
-(a+4)λ+(4a-b
2
+2)λ+(-3a-2b+2b
2
+2),所以有λ
3
-(a+4)λ
2
+(4a-b
2
+2)λ+(-3a-2b+2b
2
+2)=(λ-1)
2
(λ-4), 解得a=2,b=1.当λ
1
=λ
2
=1时,由(E-A)X=0得ξ
1
=[*] 由λ
3
=4时,由(4E-A)X=0得ξ
3
=[*].显然ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
两两正交,单位化为[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5LN4777K
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考研数学二
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