设二次型经过正交变换X=QY化为标准形，求参数a，b及正交矩阵Q．

admin2019-07-22 81

问题设二次型

经过正交变换X=QY化为标准形

，求参数a，b及正交矩阵Q．

选项

答案二次型[*]的矩阵形式为 f=X^TAX 其中A=[*]，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．而｜λE-A｜=λ³-(a+4)λ+(4a-b²+2)λ+(-3a-2b+2b²+2)，所以有λ³-(a+4)λ²+(4a-b²+2)λ+(-3a-2b+2b²+2)=(λ-1)²(λ-4)，解得a=2，b=1．当λ₁=λ₂=1时，由(E-A)X=0得ξ₁=[*] 由λ₃=4时，由(4E-A)X=0得ξ₃=[*]．显然ξ₁，ξ₂，ξ₃两两正交，单位化为[*]

解析

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