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在椭圆的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线,椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小.
在椭圆的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线,椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小.
admin
2017-07-28
48
问题
在椭圆
的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线,椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小.
选项
答案
过椭圆上任意点(x
0
,y
0
)的切线的斜率y’(x
0
)满足 [*] 分别令y=0与x=0,得x,y轴上的截距:[*] 于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图4.9)为 [*] 问题是求:S(x)=[*](0<x<a)的最小值点,其中[*].将其代入S(x)中,问题可进一步化为求函数f(x)=x
2
(a
2
一x
2
)在闭区间[0,a]上的最大值点. 由f’(x)=2x(a
2
一2x
2
)=0(x∈(0,a))得a
2
—2x
2
=0,x=x
0
=[*]注意f(0)=f(a)=0,f(x
0
)>0,故x
0
=[*]是f(x)在[0,a]的最大值点.因此[*]为所求的点.
解析
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0
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