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  3. 设函数f(x)=∫01｜t2-x2｜dt(x＞0)，求f’(x)及f(x)的最小值．

设函数f(x)=∫01｜t2-x2｜dt(x＞0)，求f’(x)及f(x)的最小值．

admin2022-09-22  29
问题 设函数f(x)=∫01｜t2-x2｜dt(x＞0)，求f’(x)及f(x)的最小值．
选项
答案对于f(x)=∫01｜t2-x2｜dt(x＞0)， 当0＜x＜1时，有 f(x)=∫01｜t2-x2｜dt=∫0x(x2-t2)dt+∫x1(t2-x2)dt =x3-[*]x3+∫x1t2dt-x2(1-x) =[*]x3-x2+[*] 因此，当0＜x＜1时，f’(x)=4x2-2x． 当x≥1时，有 f(x)=∫01｜t2-x2｜dt=∫01(x2-t2)dt=x2-[*]． 因此，当x≥1时，f’(x)=2x． [*] 令f’(x)=0，解得唯一驻点x=1／2． 而当0＜x＜1／2时，f’(x)＜0；当x＞1／2时，f’(x)＞0， 可知f(x)在(0，1／2)上单调递减，在(1／2，+∞)上单调递增． 从而可知x=1／2为最小值点，最小值为f(1／2)=1／4．
解析
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考研数学二

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