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设函数f(x)=∫01|t2-x2|dt(x>0),求f’(x)及f(x)的最小值.
设函数f(x)=∫01|t2-x2|dt(x>0),求f’(x)及f(x)的最小值.
admin
2022-09-22
28
问题
设函数f(x)=∫
0
1
|t
2
-x
2
|dt(x>0),求f’(x)及f(x)的最小值.
选项
答案
对于f(x)=∫
0
1
|t
2
-x
2
|dt(x>0), 当0<x<1时,有 f(x)=∫
0
1
|t
2
-x
2
|dt=∫
0
x
(x
2
-t
2
)dt+∫
x
1
(t
2
-x
2
)dt =x
3
-[*]x
3
+∫
x
1
t
2
dt-x
2
(1-x) =[*]x
3
-x
2
+[*] 因此,当0<x<1时,f’(x)=4x
2
-2x. 当x≥1时,有 f(x)=∫
0
1
|t
2
-x
2
|dt=∫
0
1
(x
2
-t
2
)dt=x
2
-[*]. 因此,当x≥1时,f’(x)=2x. [*] 令f’(x)=0,解得唯一驻点x=1/2. 而当0<x<1/2时,f’(x)<0;当x>1/2时,f’(x)>0, 可知f(x)在(0,1/2)上单调递减,在(1/2,+∞)上单调递增. 从而可知x=1/2为最小值点,最小值为f(1/2)=1/4.
解析
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0
考研数学二
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