设函数f(x)=∫01｜t2-x2｜dt(x＞0)，求f’(x)及f(x)的最小值．

admin2022-09-22 16

问题设函数f(x)=∫₀¹｜t²-x²｜dt(x＞0)，求f’(x)及f(x)的最小值．

选项

答案对于f(x)=∫₀¹｜t²-x²｜dt(x＞0)，当0＜x＜1时，有 f(x)=∫₀¹｜t²-x²｜dt=∫₀^x(x²-t²)dt+∫_x¹(t²-x²)dt =x³-[*]x³+∫_x¹t²dt-x²(1-x) =[*]x³-x²+[*] 因此，当0＜x＜1时，f’(x)=4x²-2x．当x≥1时，有 f(x)=∫₀¹｜t²-x²｜dt=∫₀¹(x²-t²)dt=x²-[*]．因此，当x≥1时，f’(x)=2x． [*] 令f’(x)=0，解得唯一驻点x=1／2．而当0＜x＜1／2时，f’(x)＜0；当x＞1／2时，f’(x)＞0，可知f(x)在(0，1／2)上单调递减，在(1／2，+∞)上单调递增．从而可知x=1／2为最小值点，最小值为f(1／2)=1／4．

解析

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