2. 考研
  3. 设幂级数的系数{an}满足a0=2，nan=an一1+n一1，n=1，2，3，…．求此幂级数的和函数S（x），其中x∈（一1，1）．

设幂级数的系数{an}满足a0=2，nan=an一1+n一1，n=1，2，3，…．求此幂级数的和函数S（x），其中x∈（一1，1）．

admin2016-07-29  39
问题 设幂级数的系数{an}满足a0=2，nan=an一1+n一1，n=1，2，3，…．求此幂级数的和函数S（x），其中x∈（一1，1）．
选项
答案求解本题的关键是确定幂级数[*]的系数an(n=0，1，2，…)．为此在系数的递推公式nan=an一1+n一1中依次令n=1，2，3即得 a1=a0=2， [*] 由此可猜想[*]对n=2，3，4，…都成立．用数学归纳法只需证明若[*]成立，则an+1=[*]也成立即可．事实上，由(n+1)an+1=an+n可得 [*] 即系数{an}的递推公式对任何n≥2成立．从而幂级数 [*]
解析
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考研数学三

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