2. 考研
  3. [2009年] 设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy″一y′+2=0．当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得的旋转体体积．

[2009年] 设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy″一y′+2=0．当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得的旋转体体积．

admin2019-04-05  60
问题 [2009年]  设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy″一y′+2=0．当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得的旋转体体积．
选项
答案由初始条件求出所给微分方程的特解，进而求出旋转体体积． 先求解不显含y的微分方程，求出y(x)的表示式．令y′=p，则y″=[*]，原方程化为 [*],即 xp′一p=－2， 亦即[*], 故[*]+C1，所以p=2+C1x，其中C1为任意常数． 在[*]=2+C1x两边积分得到y=2x+C1x2／2+C2，其中C2为任意常数． 由y(0)=0得到C2=0．又由 2=∫01y(x)dx=∫01(2x+[*]C1x2)dx=[*] 从而C1=6，于是非负函数为y=x+3x2(x≥0)． 在第一象限曲线y=f(x)可表示为x=[*]与x=1的交点为(1，5)，于是D(见图1．3．5．6)围绕y轴旋转所得旋转体的体积为 V=∫05π×12dy一∫055πx2dy=5π一V1， 其中 V1=∫05πx2dy=∫05π·[*]一1)2dy =[*]， 故 V=5π一39π／18=51π／18=17π／6． [*]
解析
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考研数学二

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