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[2009年] 设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy″一y′+2=0.当曲线y=y(x)过原点时,其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得的旋转体体积.
[2009年] 设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy″一y′+2=0.当曲线y=y(x)过原点时,其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得的旋转体体积.
admin
2019-04-05
50
问题
[2009年] 设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy″一y′+2=0.当曲线y=y(x)过原点时,其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得的旋转体体积.
选项
答案
由初始条件求出所给微分方程的特解,进而求出旋转体体积. 先求解不显含y的微分方程,求出y(x)的表示式.令y′=p,则y″=[*],原方程化为 [*],即 xp′一p=-2, 亦即[*], 故[*]+C
1
,所以p=2+C
1
x,其中C
1
为任意常数. 在[*]=2+C
1
x两边积分得到y=2x+C
1
x
2
/2+C
2
,其中C
2
为任意常数. 由y(0)=0得到C
2
=0.又由 2=∫
0
1
y(x)dx=∫
0
1
(2x+[*]C
1
x
2
)dx=[*] 从而C
1
=6,于是非负函数为y=x+3x
2
(x≥0). 在第一象限曲线y=f(x)可表示为x=[*]与x=1的交点为(1,5),于是D(见图1.3.5.6)围绕y轴旋转所得旋转体的体积为 V=∫
0
5
π×1
2
dy一∫
0
5
5πx
2
dy=5π一V
1
, 其中 V
1
=∫
0
5
πx
2
dy=∫
0
5
π·[*]一1)
2
dy =[*], 故 V=5π一39π/18=51π/18=17π/6. [*]
解析
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考研数学二
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