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[2012年] 设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…(enx-n),其中n为正整数,则f'(0)=( ).
[2012年] 设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…(enx-n),其中n为正整数,则f'(0)=( ).
admin
2019-04-05
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问题
[2012年] 设函数f(x)=(e
x
一1)(e
2x
一2)…(e
nx
-n),其中n为正整数,则f'(0)=( ).
选项
A、(一1)
n-1
(n一1)!
B、(一1)
n
(n—1)!
C、(-1)
n-1
n!
D、(一1)
n
n!
答案
A
解析
利用导数的定义判别,因为f(x)为多个因子相乘,且f(0)=0.
解一
=(一1)(一2)…(1一n)=(一1)(-2)…[一(n一1)]
=(一1)
n-1
(n一1)!. 仅(A)入选.
解二 令g(x)=(e
2x
一2)(e
3x
一3)…(e
nx
一n),则
f(x)=(e
x
一1)g(x),f'(x)=e
x
g(x)+(e
x
一1)g'(x),
f'(0)=g(0)=(一1)(一2)(-3)…[-(n一1)]=(一1)
n-1
(n一1)!
解三 用排错法确定正确选项.为此令n=2,则
f(x)=(e
x
一1)(e
2x
一2),f'(x)=e
x
(e
2x
一2)+2e
2x
(e
x
一1),f'(0)=1—2=一1.
因n=2时,(B),(C),(D)中的选项均为1,仅(A)入选.
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考研数学二
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