2. 考研
  3. [2007年] 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值．又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)使得f″(ξ)=g″(ξ)．

[2007年] 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值．又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)使得f″(ξ)=g″(ξ)．

admin2019-04-05  161
问题 [2007年]  设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值．又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)使得f″(ξ)=g″(ξ)．
选项
答案 由所证结论f″(ξ)=g″(ξ)易想到构造辅助函数F(x)=f(x)一g(x)，且要对F(x)两次使用罗尔定理，为此要找到F(x)的三个不同的零点． 证 因f(x)，g(x)在(a，b)上连续，不妨设存在x1≤x2(x1，x2∈[a，b])使f(x1)=M=g(x2)，其中M为f(x)，g(x)在[a，b]上相等的最大值．令F(x)=f(x)一g(x)，若x1=x2，令η=x1，则F(η)=f(x1)一g(x1)=M—M=0．若x1＜x2，因 F(x1)=f(x1)一g(x1)=M—g(x1)≥0，F(x2)=f(x2)一g(x2)=f(x2)一M≤0． 又F(x)在[a，b]上连续，由介值定理知，存在η∈(x1，x2)[*](a，b)，使F(η)=0． 由题设有F(a)=f(a)一g(a)=0，F(b)=f(b)一g(b)=0．对F(x)分别在[a，η]、[η，b]上使用罗尔定理得到：存在ξ1∈(a，η)，ξ2∈(η，b)，使F′(ξ1)=0，F′(ξ2)=一0．又因F′(x)可导，对F(x)在[ξ1，ξ2]上使用罗尔定理得到：存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使F″(ξ)=0， 即f″(ξ)=g″(ξ)．
解析
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考研数学二

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