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[2007年] 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值.又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b)使得f″(ξ)=g″(ξ).
[2007年] 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值.又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b)使得f″(ξ)=g″(ξ).
admin
2019-04-05
157
问题
[2007年] 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值.又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b)使得f″(ξ)=g″(ξ).
选项
答案
由所证结论f″(ξ)=g″(ξ)易想到构造辅助函数F(x)=f(x)一g(x),且要对F(x)两次使用罗尔定理,为此要找到F(x)的三个不同的零点. 证 因f(x),g(x)在(a,b)上连续,不妨设存在x
1
≤x
2
(x
1
,x
2
∈[a,b])使f(x
1
)=M=g(x
2
),其中M为f(x),g(x)在[a,b]上相等的最大值.令F(x)=f(x)一g(x),若x
1
=x
2
,令η=x
1
,则F(η)=f(x
1
)一g(x
1
)=M—M=0.若x
1
<x
2
,因 F(x
1
)=f(x
1
)一g(x
1
)=M—g(x
1
)≥0,F(x
2
)=f(x
2
)一g(x
2
)=f(x
2
)一M≤0. 又F(x)在[a,b]上连续,由介值定理知,存在η∈(x
1
,x
2
)[*](a,b),使F(η)=0. 由题设有F(a)=f(a)一g(a)=0,F(b)=f(b)一g(b)=0.对F(x)分别在[a,η]、[η,b]上使用罗尔定理得到:存在ξ
1
∈(a,η),ξ
2
∈(η,b),使F′(ξ
1
)=0,F′(ξ
2
)=一0.又因F′(x)可导,对F(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上使用罗尔定理得到:存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使F″(ξ)=0, 即f″(ξ)=g″(ξ).
解析
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考研数学二
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