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齐次线性方程组的系数矩阵记为A.若存在3阶矩阵B≠O,使得AB=O,则( )
齐次线性方程组的系数矩阵记为A.若存在3阶矩阵B≠O,使得AB=O,则( )
admin
2017-03-08
58
问题
齐次线性方程组
的系数矩阵记为A.若存在3阶矩阵B≠O,使得AB=O,则( )
选项
A、λ=-2且|B|=0.
B、λ=-2且|B|≠0.
C、λ=1且|B|=0.
D、λ=1且|B|≠0.
答案
C
解析
将矩阵B按列分块,则由题设条件有
AB=A[β
1
,β
2
,β
3
]=[Aβ
1
,Aβ
2
,Aβ
3
]=O
即AB
i
=0(i=1,2,3),这说明矩阵B的列向量都是齐次线性方程组Aχ=0的解.又由B≠O,知齐次线性方程组Aχ=0存在非零解,从而r(A)<3,且A为3阶方阵,故有
即λ=1,排除选项A、B.
若|B|≠0,则矩阵B可逆.以B
-1
右乘AB=O,得
ABB
-1
=OB
-1
,即A=O.
这与A为非零矩阵矛盾,选项D不正确.故选C.
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考研数学一
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