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设A为n阶矩阵,AT是A的转置矩阵,对于线性方程组(I)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0,必有( )
设A为n阶矩阵,AT是A的转置矩阵,对于线性方程组(I)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0,必有( )
admin
2018-12-19
68
问题
设A为n阶矩阵,A
T
是A的转置矩阵,对于线性方程组(I)Ax=0和(Ⅱ)A
T
Ax=0,必有( )
选项
A、(I)的解是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也是(I)的解。
B、(I)的解是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解不是(I)的解。
C、(Ⅱ)的解是(I)的解,(I)的解不是(Ⅱ)的解。
D、(Ⅱ)的解不是(I)的解,(I)的解也不是(Ⅱ)的解。
答案
A
解析
如果α是(1)的解,有Aα=0,可得
A
T
Aα=A
T
(Aα)=A
T
0=0,
即α是(2)的解。故(1)的解必是(2)的解。
反之,若α是(2)的解,有A
T
Aα=0,用α
T
左乘可得
0=α
T
0=α
T
(A
T
Aa)=(α
T
A
T
)(Aα)=(Aα)
T
(Aα),
若设Aα=(b
1
,b
2
,…,b
n
),那么
(Aα)
T
(Aα)=b
1
2
+b
2
2
+…+b
n
2
=0 <=> b
i
=0(i=1,2,…,n),
即Aα=0,说明α是(1)的解。因此(2)的解也必是(1)的解。故选A。
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考研数学二
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