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  3. [2013年] 设函数f(x)=lnx+ 设数列{xn}满足lnxn+＜l，证明xn存在，并求此极限．

[2013年] 设函数f(x)=lnx+ 设数列{xn}满足lnxn+＜l，证明xn存在，并求此极限．

admin2019-06-09  87
问题 [2013年]  设函数f(x)=lnx+
设数列{xn}满足lnxn+＜l，证明xn存在，并求此极限．
选项
答案由(I)知1是函数f(x)的最小值，故f(xn)=lnxn+[*]≥1，又已知lnxn+[*]＜1，则由lnxn＜1一[*]得到 [*]≥l—lnxn≥1一[*]＞0． 从而0＜xn＜xn+1，即{xn}单调增加． 又由lnxn+[*]＜l，有lnxn＜1一[*]＜1，故0＜xn＜e，即数列{xn}有上界，因{xn}单调增加且有上界，故其极限存在，设极限为a，即[*]xn=a，且a＞0，在不等式lnxn+[*]＜1两边取极限得到lna+[*]≤1．又由(I)知，应有lna+[*]≥1，因而lna+[*]=1，再由(I)知，a=1，即[*]xn=1．
解析
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考研数学二

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