设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫－aa｜x一t｜f(t)dt。证明F’(x)单调增加；

admin2018-01-30 36

问题设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫_－a^a｜x一t｜f(t)dt。
证明F^’(x)单调增加；

选项

答案由已知F(x)=∫_－a^a｜x一t｜f(t)dt=∫_－a^x(x一t)f(t)dt+∫_x^a(t－x)f(t)dt =x∫_－a^xf(t)dt一∫_－a^xtf(t)dt+∫_x^atf(t)dt一x∫_x^af(t)dt =x∫_－a^xf(t)dt一∫_－a^xtf(t)dt一∫_a^xtf(t)dt+x∫_a^xf(t)dt， F^’(x)=∫_－a^xf(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫_a^xf(t)dt+xf(x) =∫_－a^xf(t)dt—∫_x^af(t)dt。所以f^’’(x)=2f(x)＞0，因此F^’(x)为单调增加的函数。

解析

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