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设f(x)为[一a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令F(x)=∫-aa|x一t|f(t)dt。 证明F’(x)单调增加;
设f(x)为[一a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令F(x)=∫-aa|x一t|f(t)dt。 证明F’(x)单调增加;
admin
2018-01-30
55
问题
设f(x)为[一a,a]上的连续偶函数,且f(x)>0,令F(x)=∫
-a
a
|x一t|f(t)dt。
证明F
’
(x)单调增加;
选项
答案
由已知F(x)=∫
-a
a
|x一t|f(t)dt=∫
-a
x
(x一t)f(t)dt+∫
x
a
(t-x)f(t)dt =x∫
-a
x
f(t)dt一∫
-a
x
tf(t)dt+∫
x
a
tf(t)dt一x∫
x
a
f(t)dt =x∫
-a
x
f(t)dt一∫
-a
x
tf(t)dt一∫
a
x
tf(t)dt+x∫
a
x
f(t)dt, F
’
(x)=∫
-a
x
f(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫
a
x
f(t)dt+xf(x) =∫
-a
x
f(t)dt—∫
x
a
f(t)dt。 所以f
’’
(x)=2f(x)>0,因此F
’
(x)为单调增加的函数。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kLk4777K
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考研数学二
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