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设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)有3个不同的特征值,且α3=α1+2α2。 (Ⅰ)证明:r(A)=2; (Ⅱ)设β=α1+α2+α3,求方程组Ax=β的通解。
设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)有3个不同的特征值,且α3=α1+2α2。 (Ⅰ)证明:r(A)=2; (Ⅱ)设β=α1+α2+α3,求方程组Ax=β的通解。
admin
2018-04-08
46
问题
设3阶矩阵A=(α
1
,α
2
,α
3
)有3个不同的特征值,且α
3
=α
1
+2α
2
。
(Ⅰ)证明:r(A)=2;
(Ⅱ)设β=α
1
+α
2
+α
3
,求方程组Ax=β的通解。
选项
答案
(Ⅰ)因为A有三个不同的特征值,所以A至多只有1个零特征值,故r(A)≥2。 又因为α
3
=α
1
+2α
2
,所以矩阵A的列向量组线性相关,故r(A)≤2。从而r(A)=2。 (Ⅱ)由r(A)=2可知,齐次线性方程组Ax=0的基础解系只有1个解向量。 再由α
3
=α
1
+2α
2
可得,α
1
+2α
2
-α
3
=0,从而可得Ax=0的基础解系为(1,2,-1)
T
。 由β=α
1
+α
2
+α
3
可得,Ax=β的特解为(1,1,1)
T
,所以Ax=β的通解为 k(1,2,-1)
T
+(1,1,1)
T
,其中k∈R。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/5lr4777K
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考研数学一
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