2. 考研
  3. 设向量α1=(1，一1，1)T，α2=(1，k，一1)T，α3=(k，1，2)T，β=(4，k2，一4)T．问k取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示?并求出此线性表示式．

设向量α1=(1，一1，1)T，α2=(1，k，一1)T，α3=(k，1，2)T，β=(4，k2，一4)T．问k取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示?并求出此线性表示式．

admin2021-01-15  4
问题 设向量α1=(1，一1，1)T，α2=(1，k，一1)T，α3=(k，1，2)T，β=(4，k2，一4)T．问k取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示?并求出此线性表示式．
选项
答案设有数x1，x2，x3，使x1α1+x2α2+x3α3=β．对此方程组的增广矩阵施行初等行变换： [*] 由阶梯形矩阵可见 (1)当(4一k)(k+1)≠0，即k≠4且k≠一1时，r(A)=r([*])=3，方程组有唯一解．此时，对矩阵B作初等行变换，可得方程组的唯一解为：x1=[*]． (2)当k=一1时，r(A)=2，而r([*])=3，方程组无解，故此时β不能由α1，α2，α3线性表示． (3)当k=4时，对矩阵B作初等行变换： [*] 由此得方程组的通解为 x1=一3c，x2=4一c，x3=c，其中c为任意常数，故此时有β=一3cα1+(4一c)α2+cx3(c为任意常数)．
解析
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考研数学一

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