设λ0为A的特征值． (1)证明：AT与A特征值相等； (2)求A2，A2+2A+3E的特征值； (3)若|A|≠0，求A-1，A*，E—A-1的特征值．

admin2019-08-23 10

问题设λ₀为A的特征值．
(1)证明：A^T与A特征值相等；
(2)求A²，A²+2A+3E的特征值；
(3)若|A|≠0，求A^-1，A*，E—A^-1的特征值．

选项

答案(1)因为|λE—A^T|=|(λE—A)^T|=|λE—A|，所以A^T与A的特征值相等． (2)因为Aα=λ₀α(α≠0)，所以A²α=λ₀Aα=λ₀²α，(A²+2A+3E)α=(λ₀²+2λ₀+3)α，于是A²，A²+2A+3E的特征值分别为λ₀²，λ₀²+2λ₀+3． (3)因为|A|=λ₁λ₂…λ_n≠0，所以λ₀≠0，由Aα=λ₀α得A^-1α=[*] 由A*Aα=|A|α得A*α=[*]，又(E—A^-1)α=[*] 于是A^-1，A-，E一A^-1的特征值分别为[*]

解析

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考研数学一

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