设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

admin2016-06-25 47

问题设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B=λE+A^TA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

选项

答案用定义证明．显然B为对称矩阵．对[*]x≠0，当λ＞0时，有 x^TBx=λx^Tx+x^TA^TAx=λx^Tx+(Ax)^T(Ax)=λ‖x‖²+‖Ax‖²＞0．故B为正定阵．

解析

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